Ile razy dalej od Ziemi jest Słońce niż Księżyc?

Jeśli masz kłopoty z wyświetlaniem wzorów lub rysunków, użyj przeglądarki, która lepiej obsługuje MathML i SVG. Firefox robi to dobrze.

Arystarch z Samos w dziele „O rozmiarach i odległościach Słońca i Księżyca” podjął próbę oszacowania odległości Słońca od Ziemi w stosunku do odległości Księżyca od Ziemi. Na początku swojej pracy skrupulatnie wymienia założenia, jakie przyjął. Kulisty kształt ciał niebieskich uznaje za rzecz oczywistą, nie umieszczając go wśród założeń.

1. Księżyc otrzymuje swoje światło od Słońca (jest oświetlany przez Słońce i nie świeci własnym światłem).
2. Ziemia jest środkiem sfery (kołowej orbity) Księżyca.
3. Kiedy Księżyc widzimy w postaci połówki koła, nasze oko znajduje się w płaszczyźnie koła wielkiego, rozdzielającego ciemną i jasną część Księżyca.
4. Kiedy Księżyc widzimy w postaci połówki koła, jego odległość (kątowa) od Słońca jest o trzydziestą część ćwiartki okręgu mniejsza od ćwiartki okręgu.

Dla przypomnienia: koło wielkie to koło uzyskane przez przecięcie danej kuli płaszczyzną przechodzącą przez środek tej kuli. Nazwa pochodzi stąd, że jest ono największym z kół, jakie uzyskuje się, przecinając kulę jakąś płaszczyzną. Średnica koła wielkiego jest równa średnicy kuli, dzieli ono kulę na dwie symetryczne półkule. Terminu ,,koło wielkie", tradycyjnie, choć niezbyt fortunnie, używa się również na określenie największego z okręgów powstałych przez przecięcie płaszczyzną pewnej sfery (czyli powierzchni kuli). Kołem wielkim jest na przykład równik.

Z pierwszych trzech założeń wynika, że kiedy widzimy dokładnie połowę Księżyca, wówczas linia prosta poprowadzona pomiędzy obserwatorem a środkiem Księżyca znajduje się pod kątem prostym do linii łączącej środki Księżyca i Słońca.

Ostatnie z założeń we współczesnych terminach sformułowalibyśmy następująco: kiedy widzimy dokładnie połowę Księżyca, kąt między nim a Słońcem jest o 1/30 kąta prostego mniejszy od kąta prostego, tzn. mniejszy od 90° o 3°, a zatem wynosi 87°. (Na rysunku poglądowym nie zachowano proporcji).

Mamy zatem trójkąt prostokątny, w którym poszukiwany stosunek odległości Słońca od Ziemi do odległości Księżyca od Ziemi uzyskujemy z zależności:

$$\frac{d}{L}=\mathrm{sin\; 3°}$$

czyli:

$$\frac{L}{d}=\frac{1}{\mathrm{sin\; 3°}}$$

Obecnie wyznaczenie wartości wyrażenia po prawej stronie równania nie sprawia żadnego kłopotu. Do wyliczenia wartości $\mathrm{sin\; 3°}$ wystarczy użyć taniego kalkulatora lub choćby posłużyć się wyszukiwarką Google, wpisując: sin(3 deg). Pół wieku temu skorzystalibyśmy z tablic trygonometrycznych, zawierających wyliczone wartości funkcji sinus dla poszczególnych kątów. Arystarch nie mógł skorzystać ani z pierwszej, ani z drugiej możliwości. W jego czasach nie znano nawet pojęcia funkcji sinus, jako stałego dla danego kąta stosunku odpowiednich dwu boków trójkąta prostokątnego; do Europy trafiło ono dopiero za pośrednictwem uczonych muzułmańskich, którzy przejęli je z Indii. Mógł jednak wykorzystać swoją pomysłowość oraz spostrzeżenia poprzedników dotyczące zależności geometrycznych związanych z kątami.

Rozwiązanie

Niech $A$ będzie środkiem Słońca, $B$ środkiem Ziemi, zaś $C$ środkiem Księżyca. Z założeń problemu wynika, że w badanej sytuacji $\mathit{\angle ACB}$ jest kątem prostym.

Konstruujemy odcinek $\mathit{BE}$ prostopadły do $\mathit{AB}$ i mający tę samą długość. Rysujemy ćwiartkę okręgu o środku $\mathit{B}$ i promieniu $\mathit{AB}$, od punktu $\mathit{B}$ do $\mathit{E}$.

Uzupełniamy punkty $\mathit{A}$, $\mathit{B}$, $\mathit{E}$ takim punktem $\mathit{F}$, który utworzy wraz z nimi wierzchołki kwadratu.

Przedłużamy odcinek $\mathit{BC}$. Przedłużona linia przecina łuk $\stackrel{⌢}{\mathit{AE}}$ w punkcie $\mathit{D}$, a następnie odcinek $\mathit{FE}$ w punkcie $\mathit{H}$.

Ponieważ $\mathit{\angle ABC}$ stanowi w trójkącie $\mathit{ACB}$ dopełnienie $\mathit{\angle ACB}$ do kąta prostego, a równocześnie $\mathit{\angle ABE}$ jest kątem prostym, to $\mathit{\angle CBE}=\mathit{\angle ACB}$. Stąd także łuk $\stackrel{⌢}{\mathit{ED}}$ stanowi jedną trzydziestą łuku $\stackrel{⏜}{\mathit{EDA}}$.

Zadanie sprowadza się do oszacowania wielkości ilorazu:

$$\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{\mathit{BH}}{\mathit{HE}}$$

Pierwszą część stanowi oszacowanie tej wielkości z dołu. Ile co najmniej wynosi stosunek długości tych odcinków dla przyjętego kąta?

Rysujemy odcinek $\mathit{BF}$. Wówczas $\mathit{\angle FBE}$ jest połową kąta prostego. Linią $\mathit{BG}$ dokonujemy podziału $\mathit{\angle FBE}$ na dwa równe kąty (bisekcja kąta). Zatem $\mathit{\angle GBE}$ jest jedną czwartą kąta prostego. Ale $\mathit{\angle DBE}$ stanowi jedną trzydziestą kąta prostego, więc proporcja pomiędzy tymi kątami wynosi:

$$\frac{\mathit{\angle GBE}}{\mathit{\angle DBE}}=\frac{\frac{\mathrm{90}}{4}}{\frac{\mathrm{90}}{\mathrm{30}}}=\frac{\mathrm{30}}{4}=\frac{\mathrm{15}}{2}$$

(Arystarch nie używał przyjętej w późniejszych czasach jednostki miary kątów, w której kąt pełny liczy 360 stopni, zatem kąt prosty ma 90 stopni. W swoim rozwiązaniu rozważa możliwy podział kąta prostego na 60 równych części. Wówczas $\mathit{\angle GBE}$ zawierałby 15 takich części, zaś $\mathit{\angle DBE}$ miałby ich 2).

Arystarch odnotowuje następnie, że stosunek długości odcinka $\mathit{GE}$ do długości odcinka $\mathit{HE}$ jest większy od stosunku odpowiednich kątów: $\mathit{\angle GBE}$ do $\mathit{\angle DBE}$ (jest to część twierdzenia znanego jako nierówność Arystarcha [opis po ang.]). Warto zauważyć, że w drugiej części rozwiązania autor, niekonsekwentnie, zamiast mówić o stosunku kątów, posługuje się stosunkiem odpowiadających im łuków okręgu, a zatem proporcją długości łuków, zamiast proporcją miar kątów.

$$\frac{\mathit{GE}}{\mathit{HE}}>\frac{\mathrm{15}}{2}$$

Następnie, ponieważ $\mathit{BE}$ jest równe $\mathit{EF}$, a kąt przy wierzchołku $\mathit{E}$ jest kątem prostym, więc kwadrat zbudowany na $\mathit{FB}$ ma dwa razy większe pole od kwadratu zbudowanego na $\mathit{BE}$ (na podstawie twierdzenia Pitagorasa).

$$\frac{\mathit{FB}\times \mathit{FB}}{\mathit{BE}\times \mathit{BE}}=2$$

Kolejnym krokiem byłoby:

$$\frac{\mathit{FB}}{\mathit{BE}}=\sqrt{2}$$

Ponieważ Arystarch nie dysponował kalkulatorem, do oszacowania wartości $\sqrt{2}$ skorzystał z dobrze znanego przybliżenia, wymyślonego przez pitagorejczyków:

$$2\times (5\times 5)=\mathrm{50}>\mathrm{49}=7\times 7$$

Skąd otrzymujemy:

$$\sqrt{2}>\frac{7}{5}$$

A zatem:

$$\frac{\mathit{FB}}{\mathit{BE}}>\frac{7}{5}$$

Zauważył ponadto, że:

$$\frac{\mathit{FB}}{\mathit{BE}}=\frac{\mathit{FG}}{\mathit{GE}}$$

(Ponieważ $\mathit{BG}$ jest dwusieczną kąta przy wierzchołku $\mathit{B}$ trójkąta $\mathit{FBE}$; wykorzystana równość stanowi treść twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie).

W takim razie:

$$\frac{\mathit{FG}}{\mathit{GE}}>\frac{7}{5}$$

A skoro przy tym: $\mathit{FG}+\mathit{GE}=\mathit{FE}$, więc:

$$\frac{\mathit{FE}}{\mathit{GE}}>\frac{\mathrm{12}}{5}$$

Powyżej, z porównania wielkości kątów, otrzymaliśmy:

$$\frac{\mathit{GE}}{\mathit{HE}}>\frac{\mathrm{15}}{2}$$

Uwzględniając obie zależności, uzyskujemy:

$$\frac{\mathit{FE}}{\mathit{HE}}=\frac{\frac{\mathit{FE}}{\mathit{GE}}}{\frac{\mathit{GE}}{\mathit{HE}}}>\frac{\frac{\mathrm{12}}{5}}{\frac{\mathrm{15}}{2}}=\mathrm{18}$$ $$\frac{\mathit{FE}}{\mathit{HE}}>\mathrm{18}$$

Ponieważ $\mathit{FE}=\mathit{BE}$, więc także:

$$\frac{\mathit{BE}}{\mathit{HE}}>\mathrm{18}$$

A ponieważ $\mathit{BH}>\mathit{BE}$, więc $\mathit{BH}$ tym bardziej jest ponad 18 razy większe od $\mathit{HE}$:

$$\frac{\mathit{BH}}{\mathit{HE}}>\frac{\mathit{BE}}{\mathit{HE}}>\mathrm{18}$$

Skoro, jak zauważyliśmy na początku:

$$\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{\mathit{BH}}{\mathit{HE}}$$

to:

$$\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}>\mathrm{18}$$

Co oznacza, że odległość Słońca ($\mathit{A}$) od Ziemi ($\mathit{B}$) jest ponad 18 razy większa od odległości Księżyca ($\mathit{C}$) od Ziemi.

W następnej kolejności przystępujemy do oszacowania tej samej wielkości z góry. Ile co najwyżej wynosi szukany stosunek długości odcinków?

Rysujemy równoległą do odcinka $\mathit{EB}$ przechodzącą przez punkt $\mathit{D}$. Punkt przecięcia z odcinkiem $\mathit{AB}$ oznaczamy przez $\mathit{K}$.

Na trójkącie $\mathit{DKB}$ opisujemy okrąg. Ponieważ kąt przy wierzchołku $\mathit{K}$ jest kątem prostym, więc $\mathit{\angle DKB}$ opiera się na średnicy tego okręgu, czyli odcinek $\mathit{DB}$ jest średnicą (tzw. twierdzenie Talesa o okręgu, szczególny przypadek twierdzenia o kątach wpisanym i środkowym).

Konstruujemy odcinek $\mathit{BL}$, będący bokiem sześciokąta foremnego wpisanego w ostatnio zbudowany okrąg.

Ponieważ $\mathit{\angle DBE}$ to 1/30 kąta prostego, więc równy mu $\mathit{\angle BDK}$ to również 1/30 kąta prostego, czyli 1/120 kąta pełnego. Miara kąta wpisanego (jakim jest $\mathit{\angle BDK}$) jest dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku (twierdzenie o kącie środkowym i kącie wpisanym opartych na tym samym łuku). Równocześnie miara kąta środkowego jest taką częścią kąta pełnego, jaką częścią okręgu jest łuk, na którym ten kąt jest oparty. A zatem łuk $\stackrel{⌢}{\mathit{BK}}$ to 1/60 część pełnego okręgu.

Z kolei łuk $\stackrel{⌢}{\mathit{BL}}$ stanowi 1/6 część pełnego okręgu. A zatem łuk $\stackrel{⌢}{\mathit{BL}}$ jest dokładnie 10 razy dłuższy niż łuk $\stackrel{⌢}{\mathit{BK}}$.

Stosunek łuku $\stackrel{⌢}{\mathit{BL}}$ do łuku $\stackrel{⌢}{\mathit{BK}}$ jest większy niż stosunek odcinka $\mathit{BL}$ do odcinka $\mathit{BK}$ (spostrzeżenie pokrewne z drugą częścią twierdzenia Arystarcha). Wynika stąd, że:

$$\frac{\mathit{BL}}{\mathit{BK}}<\mathrm{10}$$

A ponieważ $\mathit{BD}=2\times \mathit{BL}$, więc

$$\frac{\mathit{BD}}{\mathit{BK}}<\mathrm{20}$$

Trójkąty $\mathit{ACB}$ oraz $\mathit{DKB}$ są podobne (mają takie same kąty), więc:

$$\frac{\mathit{BD}}{\mathit{BK}}=\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}$$

Skąd wynika, że

$$\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}<\mathrm{20}$$

Co oznacza, że odległość Słońca ($\mathit{A}$) od Ziemi ($\mathit{B}$) jest mniej niż 20 razy większa od odległości Księżyca ($\mathit{C}$) od Ziemi.

Podsumowując:

$$\mathrm{18}<\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}<\mathrm{20}$$

Słońce znajduje się więcej niż 18 a mniej niż 20 razy dalej od Ziemi niż Księżyc.

Współcześnie obliczona wartość $\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{sin\; 3°}$}\right.$ wynosi:

$$\frac{1}{\mathrm{sin\; 3°}}=\mathrm{19.10732...}$$

Streszczenie rozwiązania

$$\frac{\mathrm{GE}}{\mathrm{HE}}>\frac{\frac{\mathrm{90}}{4}}{\frac{\mathrm{90}}{\mathrm{30}}}=\frac{\mathrm{15}}{2}$$ $$\frac{\mathrm{FG}}{\mathrm{GE}}=\frac{\mathrm{FB}}{\mathrm{BE}}=\sqrt{2}>\frac{7}{5}$$ $$\frac{\mathrm{FE}}{\mathrm{GE}}=\frac{\mathrm{FG}+\mathrm{GE}}{\mathrm{GE}}>\frac{\mathrm{12}}{5}$$ $$\frac{\mathrm{FE}}{\mathrm{HE}}=\frac{\frac{\mathrm{FE}}{\mathrm{GE}}}{\frac{\mathrm{GE}}{\mathrm{HE}}}>\frac{\frac{\mathrm{15}}{2}}{\frac{\mathrm{12}}{5}}=\mathrm{18}$$ $$\frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{HE}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}>\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{HE}}=\frac{\mathrm{FE}}{\mathrm{HE}}$$ $$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}>\mathrm{18}$$ $$\frac{\mathrm{BL}}{\mathrm{BK}}<\frac{\stackrel{⌢}{\mathrm{BL}}}{\stackrel{⌢}{\mathrm{BK}}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{\mathrm{60}}}=\mathrm{10}$$ $$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BK}}=\frac{2\times \mathrm{BL}}{\mathrm{BK}}<\mathrm{20}$$ $$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BK}}<\mathrm{20}$$

Uproszczenia i niedokładności modelu

1. Arystarch stwierdził, że kiedy widzimy dokładnie połowę Księżyca, wówczas linia prosta poprowadzona pomiędzy obserwatorem a środkiem Księżyca znajduje się pod kątem prostym do linii łączącej środki Księżyca i Słońca, zaś obserwowany kąt między Księżycem a Słońcem wynosi 87°. A zatem znalezione rozwiązanie konstrukcyjne dotyczy odległości środków Księżyca oraz Słońca od punktu znajdującego się na powierzchni Ziemi, nie zaś od środka kuli ziemskiej.

   Ta niespójność byłaby tylko brakiem elegancji w rozwiązaniu, gdyby nie fakt, że w kolejnych rozważaniach Arystarch traktuje uzyskany wynik tak, jakby wszystkie odległości były mierzone pomiędzy środkami ciał niebieskich.

   W dalszej części dzieła Arystarch oblicza dystanse do Słońca i Księżyca mierzone w promieniach Ziemi (${\mathit{R}}_{\mathrm{\oplus }}$). Okazuje się, że względu na znaczne odległości obu ciał niebieskich w porównaniu z rozmiarem Ziemi (wg niego: ok. 380 ${\mathit{R}}_{\mathrm{\oplus }}$ oraz 20 ${\mathit{R}}_{\mathrm{\oplus }}$), różnica uwzględniająca przesunięcie punktu reprezentującego Ziemię z powierzchni Ziemi do jej centrum ma niewielkie znaczenie.

2. Ponieważ Słońce i Księżyc są różnych rozmiarów (ponieważ mają tę samą średnicę kątową na niebie, a Księżyc znajduje się bliżej Ziemi, co Arystarch wykazał w stwierdzeniu 6 swojego dzieła), więc oświetlona przez Słońce część Księżyca nie jest dokładnie połową jego globu. W rozważaniach wstępnych Arystarch udowodnił, że jeśli sfera jest oświetlana przez sferę większą od niej, to oświetlona część mniejszej sfery jest większa od półsfery (stwierdzenia 1 i 2). Z drugiej strony, jak wykazał, Księżyc znajduje się tak daleko od Ziemi w stosunku do swoich rozmiarów, że koło dzielące jego jasną i ciemną część różni się geometrycznie od jego koła wielkiego, ale w sposób dla nas niedostrzegalny, różnica wynosi mniej niż 1/3960 kąta prostego (stwierdzenia 3 i 4).

3. Arystarch nie podaje, skąd uzyskał wielkość kąta równą akurat 87°. Kąt pomiędzy Słońcem i Księżycem w pierwszej lub trzeciej kwadrze jest bliski kątowi prostemu i bardzo trudny do zmierzenia. Dlatego oszacowanie Arystarcha, że Słońce znajduje się ok. 20 razy dalej od Ziemi niż Księżyc, przyjmowano w astronomii przez prawie 2000 lat. Wskutek tego Układ Słoneczny, a zatem i cały świat, miał w ówczesnych modelach znacznie mniejsze rozmiary niż w rzeczywistości. Faktycznie kluczowy kąt jest znacznie bliższy kątowi prostemu i wynosi 89,85°; Słońce znajduje się około 390 razy dalej od Ziemi niż Księżyc.

   Według niektórych współczesnych domysłów przyjęta przez Arystarcha różnica trzech stopni kątowych brakujących do kąta prostego nie pochodziła z wyników pomiarów, ale była wnioskiem z ograniczeń naszego postrzegania. Mianowicie rozdzielczość nieuzbrojonego oka ludzkiego wynosi około jednej minuty kątowej (1'). Widoczna z Ziemi tarcza Księżyca ma wielkość pół stopnia, czyli 30 minut kątowych, a więc jedna minuta kątowa to 1/30 tej tarczy. Nie da się z lepszą dokładnością stwierdzić, czy widoczna jest dokładnie połowa Księżyca. Z drugiej strony, Księżyc to faktycznie bryła trójwymiarowa, kula, której połowa (czyli 180°) jest zwrócona w stronę Ziemi, a w danym momencie widzimy tylko jej ćwiartkę (90°) oświetlaną przez Słońce. W takim razie również kąt pomiędzy połówką Księżyca a jakimś innym obiektem na niebie możemy oznaczyć z dokładnością nie większą niż 1/30 z 90°, czyli 3°.

   Jeżeli powyższe uzasadnienie odpowiada prawdzie, to Arystarch przyjął 90° − 3° = 87° jako wartość graniczną kąta, czyli uznał, że faktyczny kąt jest nieco mniejszy od kąta prostego i wynosi nie mniej niż 87°. Oznaczałoby to, że szacował dolne ograniczenie dla stosunku badanych odległości, a zatem że Słońce znajduje się co najmniej 18–20 razy dalej niż Księżyc. Jednak w samym tekście „O rozmiarach i odległościach Słońca i Księżyca” takie stwierdzenie ani sugestia się nie pojawia.

Draco marinus. Smok morzki

Rycina z cytowanego dzieła
O ziolach y o moczy gich,
pokolorowana współcześnie.

Z Kxiąg rzecży przyrodzonych. Ieſt dziw okruthny morzki: iako y ziemny / nie ma ſkrzidł iako ziemny ma / długi ogon ma zakrzywiony / głowę ma iako iego ciało potrzebuie: mały / małe ma ſkrzele na grzbiecie za ſkrzydła / iest prędki, Barzo iest iadowity y zarażaiączy ſwoiem iadem / gdy ogonem / albo ſkrzelmi uderzy / tedy zarazi.

Uczynki iego.

Plin. w kxięgach .x., gdy go ułowi a wſadzi w ziemną iamę albo w doł / nathychmiaſt ſobie meath ucżyni noſem ſwogim.

Ten zaſię pisze w kxięgach. 28. Iż piołynem leczą iego iad: jedząc Piołyn, albo też warzącz: polewać ranę.

Cżynią też naprzeciw iego iadowi tey moczy z ocztu przyprawę ktorey woniaią / a nie szkodzi gim iadowitoſć morzkiego Smoku.

Auicenna w cżwarthych kxiegach pisze, Iż rana ſmoku morzkie^o y inszych wężow iadowitych: może być ulecżon nieiako iad gich / ale iako rana od nich ucżyniona. Rana od ſmoku morzkiego / gdy będzie z ſiarką z ocztem pomazana / thedy ią lecży.

Sadło Cocodrillowo, też tho rozcżynione z ołowem ſkruszonem goii tę ranę.

Tenże Auicenna y Galienus Tegosz ſmoka mieſo gdy go rozetnie y prziłożi na ranę, tedy ſie goii.

Sok piołynowy gdy go puſci na ranę od ſmoka ucżynioną tedy z goii.

Gdy ſmok zagrizie / tedy czeny naſkrobać y naſypać na ranę, a będzie zdrow od boleſci y od iadu.

---

Stefan Falimirz, O ziolach y o moczy gich, o paleniu wodek z zioł, o oleykach przyprawianiu, o rzeczach zamorskich [...]. Kraków, Florian Vnglerius, 24 XII 1534.

Bardzo wysoka góra

Po chrzcie nad Jordanem Jezus udał się na pustkowie, gdzie pościł przez czterdzieści dni i nocy. Wtedy pojawił się przed nim kusiciel, diabeł. Kusił go trzykrotnie, na koniec oferując mu władzę nad światem:

Znowu bierze Go diabeł na bardzo wysoką górę i pokazuje Mu wszystkie królestwa świata z całym ich przepychem, i mówi Mu: „To wszystko dam Tobie, jeżeli upadniesz na twarz i złożysz mi hołd”.

Mt 4:8-9 (BP)

W ewangelii według Marka (Mk 1:13) jest tylko krótka, ogólnikowa wzmianka o kuszeniu, ale tę samą historię opowiada autor ewangelii według Łukasza (Łk 4:1-13), choć podaje inną kolejność wydarzeń.

Jak wysoka mogła być góra, na którą diabeł zabrał Jezusa i gdzie się mogła znajdować? Zauważmy: widać z niej było wszystkie królestwa świata.

Kuszenie Jezusa. Bardzo bogate godzinki księcia de Berry, 1411-1416.

Przyjrzyjmy się całości. W przemyślanej konstrukcji literackiej ewangelista kreśli trzy kolejne sceny:

• Najpierw diabeł kusi Jezusa po prostu na miejscu, na pustkowiu, pragnieniem bardzo przyziemnym: żeby zaspokoił wielotygodniowy głód. Mógłby pozbyć się głodu, gdyby przemienił kamienie w chleb.
• Potem zabiera go do Jerozolimy, na wysoki mur świątyni. Tym razem pokusa jest silniejsza: nie zwyczajne zaspokojenie głodu, ale udowodnienie, że jest synem Bożym. Jeśli „rzuci się w dół” i nic mu się nie stanie, jeśli aniołowie go uratują, będzie to dowód, że rzeczywiście jest synem Bożym. Zwróćmy uwagę na przywołany tym samym obraz dużej wysokości, na jakiej stoją. Na spoglądanie z wysoka w dół. Świątynia była położona na jednym ze wzgórz, między którymi rozciągała się Jerozolima. Z muru świątyni nie tylko było widać położoną poniżej dolinę Cedronu, na wschodzie, ale i całe wielkie miasto.
• Następnie „znowu bierze go diabeł na bardzo wysoką górę i pokazuje mu wszystkie królestwa świata”, obiecując, że odda mu władzę nad nimi, jeśli Jezus złoży mu pokłon. Stawka jest o wiele wyższa niż poprzednim razem, wręcz oszałamiająca. Władza nad całym światem! Dlatego miejsce tej propozycji jest na wielkiej wysokości, a widok wszystkich państw świata robi ogromne wrażenie.

Kolejne sceny rozgrywają się na coraz większych wysokościach, z których widać coraz więcej, ponieważ coraz większy rozmach scen odzwierciedla coraz większą stawkę. Całość tworzy spójną, logiczną konstrukcję, w której konieczne jest, aby wszystko było jednakowo realne.

Widok z Góry Kuszenia, wznoszącej się kilkaset metrów nad okolicą.
Foto: lmasudi, 2007.

Autor Ewangelii według Mateusza (będziemy dla wygody nazywać go po prostu Mateuszem) był przekonany, że z jakiejś wielkiej góry musi być widać cały świat, wszystkie królestwa. Ziemia jest jednak kulą. Kulistość Ziemi uniemożliwia dostrzeżenie, co znajduje się po drugiej stronie globu, nawet jeśli patrzeć nie tylko z „bardzo wysokiej góry”, ale nawet z setek tysięcy kilometrów od Ziemi, nawet z Księżyca. Mateusz nie miał pojęcia, że góry, z której widać cały świat, zwyczajnie nie ma i być nie może.

Filozofowie i uczeni starożytni już kilkaset lat przed powstaniem chrześcijaństwa byli przekonani o kulistości Ziemi, a Eratostenes w III wieku p.n.e. na podstawie doświadczenia oszacował rozmiary tej kuli. Jednak pierwsi chrześcijanie nie byli ludźmi wykształconymi, wręcz przeciwnie – wychwalano ignorancję wobec „ziemskiej” wiedzy. Mateusz tkwił w naiwnym przeświadczeniu, że Ziemia jest płaska. Dlatego właśnie kiedy obmyślał sobie scenę kuszenia, napisał, że z bardzo wielkiej góry diabeł pokazał Jezusowi wszystkie królestwa świata. Bo uważał, że taka góra może istnieć i pewnie gdzieś istnieje, może nawet stosunkowo blisko Palestyny. Albo nawet nie tylko jedna taka góra. A skoro tak, to diabeł mógł jej użyć do pokazania Jezusowi wszystkich królestw świata. A jeśli mógł, to pewnie tak właśnie by uczynił. A skoro by uczynił, to równie dobrze można opisać, że tak się stało.

Góra Kuszenia, 11 kilometrów od Jerycha.
Foto: Sek Keung Lo, 2007.

Większość apologetów twierdzi, że pokazanie wszystkich królestw świata było jedynie wizją przedstawioną Jezusowi przez diabła. Ale wówczas całkiem niepotrzebnie diabeł zabierał Jezusa na bardzo wysoką górę. Taką wizję mógł mu pokazać w dowolnym miejscu, po prostu na pustyni, gdzie Jezus pościł. Dlatego wielu uważa, że również zabranie na górę jest częścią wizji. Jednak tekst ewangelii nie upoważnia do takiej interpretacji. Mateusz niczym nie daje do zrozumienia, że scena z „bardzo wysoką górą” ani jakakolwiek inna scena z życia Jezusa nie zaszła naprawdę, nie jest detalicznym opisem obiektywnych faktów. Co według normalnych reguł komunikacyjnych oznacza, że autor relacjonuje odbiorcom faktyczne wydarzenie, z faktyczną górą, faktycznym pokazywaniem wszystkich królestw, faktycznym dialogiem itd. A nie jakąś czyjąś „wizję”.

Sprawa nie jest jednak taka oczywista. Nawet z najwyższej góry w Izraelu nie widać drugiej strony kuli ziemskiej, ale po drugiej stronie globu znajduje się… Ocean Spokojny. Dwie trzecie powierzchni Ziemi pokrywa woda, więc nie jest to specjalnie zaskakujące. Na antypodach Jerozolimy znajdziemy zaledwie kilka wysepek Polinezji, zasiedlonej dopiero setki lat po Jezusie. Czyżby w takim razie z jakiejś bardzo wysokiej góry można było rzeczywiście zobaczyć wszystkie królestwa starożytnego świata?

Ziemia z kosmicznej perspektywy. Po lewej: Izrael w centrum.
Po drugiej stronie globu znajdują się nieliczne wysepki Polinezji.

Gdyby Ziemia była płaska, głównymi ograniczeniami w widoczności odległych terenów byłyby zasłaniające widok przeszkody terenowe: drzewa, budynki, inne góry i wzniesienia, oraz pochłanianie i rozpraszanie światła przez atmosferę, która nie jest idealnie przejrzysta. Krzywizna powierzchni Ziemi wynikająca z jej kulistego kształtu, powoduje, że nawet usunięcie tych przeszkód nie zapewni widoczności ani „całego świata”, ani nawet znaczącej jego części. Jak daleko można sięgnąć wzrokiem z bardzo wysokiej góry?

Kiedy w czasie Rewolucji Francuskiej wprowadzano uniwersalny dziesiętny system miar i wag, jako nową jednostkę długości, metr, przyjęto jedną dziesięciomilionową część odległości od równika do bieguna, mierzoną wzdłuż południka paryskiego. Według tej definicji, odległość między równikiem a biegunem wynosi 10.000 kilometrów. Wystarczy kojarzyć ten fakt, by móc w razie potrzeby łatwo obliczyć promień lub średnicę Ziemi.

Obwód kuli ziemskiej wynosi 4×10.000 = 40.000 kilometrów.

Przybliżoną wielkość promienia kuli ziemskiej ${\displaystyle R}$ wyznaczymy ze wzoru na obwód koła:

${\displaystyle 2\mathrm{\Pi }R=4\cdot 10,000}$
${\displaystyle R=40000:(2\mathrm{\Pi })\approx 40000:(2\cdot \mathrm{3,14})\approx 6370\; km\approx 6400\; km}$

Załóżmy, że oprócz góry, na której znajduje się obserwator, pozostała powierzchnia Ziemi jest idealnie kulista i cały pozostały teren znajduje się na poziomie morza. Dzięki prostemu szkicowi wyznaczymy, jak daleko od obserwatora znajduje się widnokrąg, linia pozornego styku nieba z powierzchnią ziemi. Ponieważ kąt ${\displaystyle \alpha }$ pomiędzy pionem w miejscu, gdzie znajduje się obserwator, a pionem na linii widnokręgu jest bardzo niewielki, wynosi mniej niż parę stopni, więc łuk ${\displaystyle K}$ ma praktycznie tę samą długość, co odcinek ${\displaystyle L}$.

Odległość do widnokręgu.
Rysunek poglądowy bez zachowania proporcji.

${\displaystyle R^2+L^2={(R+h)}^2}$

Z prostego przekształcenia mamy

${\displaystyle L=\sqrt{{(R+h)}^2-R^2}=\sqrt{2Rh+h^2}}$

Ponieważ ${\displaystyle h}$ w porównaniu do ${\displaystyle R}$ jest bardzo małe (np. 25 km jest dużo mniejsze od 6400 km), to człon ${\displaystyle h^2}$ jest zaniedbywalnie mały w porównaniu do ${\displaystyle 2Rh}$:

${\displaystyle h^2=25\times 25=625}$
${\displaystyle 2Rh=2\times 6400\times 25=320,000}$
${\displaystyle \sqrt{2Rh}=\sqrt{\mathrm{320,000}}=565,7\approx 566}$
${\displaystyle \sqrt{2Rh+h^2}=\sqrt{\mathrm{320,000}+625}=566.2\approx 566}$

W takim razie możemy przyjąć, że całkiem sensowne przybliżenie daje wzór:

${\displaystyle L\approx \sqrt{2Rh}=\sqrt{12,800\times h}\approx 113,1\times \sqrt{h} [km]}$

Jak wysokie są wzniesienia terenu w okolicy, w której Jezus pościł na pustkowiu? W centralnej części Izraela, po obu stronach Morza Martwego i doliny Jordanu, biegną pasma wyżyn i gór. Wyróżniające się szczyty mają od kilkuset do około tysiąca metrów. Na północ od nich, na zachód od Jeziora Tyberiadzkiego (Jezioro Genezaret), znajdują się góry i wzgórza Galilei, rodzinnych stron Jezusa. Ich najwyższy szczyt to góra Meron, licząca 1208 m n.p.m. Jeszcze dalej na północ rozciąga się pasmo górskie Antylibanu, którego najwyższy szczyt, góra Hermon (2814 m n.p.m.), leży 50 km na północ od Jeziora Tyberiadzkiego, na dawnych terenach plemienia Dan.

Ukształtowanie terenu Izraela i regionów przyległych.
Mapa dzięki narzędziom i danym (GMRT) z www.marine-geo.org.

Przyjmijmy, że „bardzo wysoka góra” miała wysokość 3000 metrów czyli 3 km ponad otaczający teren.

${\displaystyle L\approx 113,1\times \sqrt{3}\approx 113,1\times 1,73\approx 196\; km}$

Około 200 kilometrów – taki jest promień koła teoretycznej widoczności z góry Hermon, ograniczonego jedynie krzywizną Ziemi. Nie uwzględniamy żadnych przeszkód terenowych (np. innych gór i pagórków), jakie mogłyby zasłonić widok, wzniesienia odległego terenu ponad poziom morza, ani wpływu atmosfery na ograniczenie widoczności. Spoglądając z góry Hermon na południe można by było dojrzeć wszystkie kraiki starożytnej Palestyny: na wschodzie marionetkowe państewko syna Heroda Wielkiego, Heroda Filipa II, po drugiej stronie jeziora Galileę, część państewka jego przyrodniego brata, Heroda Antypasa; dalej na południe terytorium Dekapolis, ligi miast hellenistycznych. Na południe od nich, po zachodniej stronie Jordanu, Pereę, drugą część państewka Heroda Antypasa. Potem okolice miasta Fazaelis, należące do siostry Heroda Wielkiego, Salome. Dalej, aż po widnokrąg, rzymską prowincję Judeę, utworzoną z ziem Heroda Archelaosa, trzeciego syna Heroda Wielkiego, aż po jej główne miasto, Jerozolimę, znajdującą się w odległości około 200 km od góry Hermon. Cztery kraje, wliczając państwo rzymskie pod rządami Tyberiusza, które można nazwać królestwami i które byłyby teoretycznie widoczne z góry Hermon.

Prócz tych paru państewek na terenach byłego Izraela, cesarstwo rzymskie w roku 30 naszej ery miało za sąsiadów więcej królestw, przeważnie mniej lub bardziej podporządkowanych (w nawiasach orientacyjne odległości od góry Hermon):

• królestwo Nabatejczyków, ze stolicą w Petrze, w południowej Jordanii (350 km)
• królestwo Meroe (Kusz), na południe od Egiptu, przeciwnicy Rzymu (1800 km)
• północnoafrykańskie królestwo Mauretanii (2600 km)
• bijące własną monetę królestwa plemion celtyckich w Brytanii (np. Icenów, Trynobantów, Catuvellaunów) (3500 km)
• alpejskie królestwo Noricum (Regnum Noricum) (2500 km)
• królestwo Ligurów w Alpach Kotyjskich (2500 km)
• królestwo Tracji, na północ od Grecji (1300 km)
• królestwo Pontu w Azji Mniejszej (700 km)
• królestwo Bosporu na Krymie (1200 km)
• królestwo Emesy w zachodniej Syrii (170 km)
• królestwo Palmyry, w środkowej Syrii (250 km)
• królestwo Osroene, ze stolicą w Edessie, przy granicy Syrii i Turcji (500 km)
• królestwo Armenii (700 km)
• królestwo Iberii kaukaskiej (1000 km)
• królestwo Partów (500 km), przeciwnik Rzymu na wschodzie

Zaledwie jedno z nich, królestwo Emesy, znajduje się dostatecznie blisko, żeby choć teoretycznie dało się dostrzec jego tereny ze szczytu góry Hermon. A to tylko część ówczesnych królestw świata. Dalej na południu były położone:

• królestwo Saba, w południowym Jemenie (2000 km)
• królestwo Aksum, w północnej Etiopii (2100 km)

Z kolei na wschód od królestwa Partów aż po wschodnie krańce Indii:

• królestwo Adiabene, w północno-wschodniej Mezopotamii (700 km)
• królestwo indo-partyjskie, w Afganistanie, Pakistanie, zachodnich Indiach (3000 km)
• królestwo Kuszanów, w Azji Centralnej (3200 km)
• królestwo indo-scytyjskie Saków w zachodnich i środkowych Indiach (3500 km)
• królestwo Satavahana, w środkowej części Półwyspu Indyjskiego (4200 km)
• królestwa Pandjów, Ćerów, oraz Ćolów w południowej części Płw. Indyjskiego (4500 km)
• królestwo Magadha, u ujścia Gangesu (4800 km)

Herodot w V wieku p.n.e. opisywał Indie, Aleksander Macedoński dotarł do nich w swoich podbojach, Rzymianie prowadzili z nimi handel. Kiedy August przyłączył Egipt do państwa rzymskiego, wielką rolę zaczęła odgrywać trasa morska przez Morze Czerwone, a potem Ocean Indyjski, z wykorzystaniem monsunów. Sprowadzano z Indii przyprawy, perły, kość słoniową, cenne kamienie. Co roku wyruszała na wschód zorganizowana flotylla ponad stu statków, na wybrzeżu Indii powstały stałe rzymskie placówki handlowe, a władcy indyjscy słali poselstwa do Augusta, przyjmowane z wielkimi honorami. W grę wchodziły tak duże interesy, że Rzymianie nie wahali się interweniować zbrojnie przeciwko królestwu Saby, kiedy próbowało monopolizować handel na wybrzeżach somalijskich i indyjskich blokując cudzoziemcom dostęp do cieśniny Bab al-Mandab.

Nie zapominajmy też, że na wschód od Indii istniało kolejne wielkie królestwo, imperium liczące około 60 milionów mieszkańców, z którego jedwabnym szlakiem sprowadzano najcenniejszą tkaninę starożytności:

• państwo chińskie wschodniej dynastii Han (6200 km)

Czerwone koło na powierzchni globu pokazuje zasięg widoczności z wysokości 9 kilometrów nad poziomem morza (średnica koła jest równa 700 km).

Nie ma takiej góry w pobliżu Izraela, z której byłoby widać Mauretanię albo Indie. Nawet Tracja jest zbyt odległa. Czy w ogóle gdziekolwiek istnieje wystarczająco wysoka góra? Szczyt Mount Everest, najwyższej góry na Ziemi, położony jest na wysokości 8848 metrów nad poziomem morza. Po zaokrągleniu do pełnych kilometrów, dla ${\displaystyle h=9\; km}$ otrzymujemy:

${\displaystyle L\approx 113,1\times \sqrt{9}\approx 113,1\times 3\approx 339\; km}$

Ze szczytu Mount Everest teoretycznie byłoby widać tylko na około 350 km w każdą stronę. Nawet gdyby stał w połowie drogi pomiędzy Izraelem a Indiami, jest o wiele za niski, żeby móc z niego zobaczyć oba te dwie kraje.

Żeby obserwator mógł dojrzeć po przeciwnych krańcach widnokręgu choćby skrawki królestw odległych od siebie o 3000 km, musiałby się znajdować w połowie odległości pomiędzy nimi, na wysokości… 180 kilometrów nad powierzchnią Ziemi. Żeby mógł dojrzeć skrawki królestw odległych od siebie o 6000 km, musiałby spoglądać z wysokości 750 km. Umowna granica pomiędzy atmosferą Ziemi i przestrzenią kosmiczną przebiega na wysokości 100 kilometrów…