Ile razy dalej od Ziemi jest Słońce niż Księżyc?

Jeśli masz kłopoty z wyświetlaniem wzorów lub rysunków, użyj przeglądarki, która lepiej obsługuje MathML i SVG. Firefox robi to dobrze.

Arystarch z Samos w dziele „O rozmiarach i odległościach Słońca i Księżyca” podjął próbę oszacowania odległości Słońca od Ziemi w stosunku do odległości Księżyca od Ziemi. Na początku swojej pracy skrupulatnie wymienia założenia, jakie przyjął. Kulisty kształt ciał niebieskich uznaje za rzecz oczywistą, nie umieszczając go wśród założeń.

1. Księżyc otrzymuje swoje światło od Słońca (jest oświetlany przez Słońce i nie świeci własnym światłem).
2. Ziemia jest środkiem sfery (kołowej orbity) Księżyca.
3. Kiedy Księżyc widzimy w postaci połówki koła, nasze oko znajduje się w płaszczyźnie koła wielkiego, rozdzielającego ciemną i jasną część Księżyca.
4. Kiedy Księżyc widzimy w postaci połówki koła, jego odległość (kątowa) od Słońca jest o trzydziestą część ćwiartki okręgu mniejsza od ćwiartki okręgu.

Dla przypomnienia: koło wielkie to koło uzyskane przez przecięcie danej kuli płaszczyzną przechodzącą przez środek tej kuli. Nazwa pochodzi stąd, że jest ono największym z kół, jakie uzyskuje się, przecinając kulę jakąś płaszczyzną. Średnica koła wielkiego jest równa średnicy kuli, dzieli ono kulę na dwie symetryczne półkule. Terminu ,,koło wielkie", tradycyjnie, choć niezbyt fortunnie, używa się również na określenie największego z okręgów powstałych przez przecięcie płaszczyzną pewnej sfery (czyli powierzchni kuli). Kołem wielkim jest na przykład równik.

Z pierwszych trzech założeń wynika, że kiedy widzimy dokładnie połowę Księżyca, wówczas linia prosta poprowadzona pomiędzy obserwatorem a środkiem Księżyca znajduje się pod kątem prostym do linii łączącej środki Księżyca i Słońca.

Ostatnie z założeń we współczesnych terminach sformułowalibyśmy następująco: kiedy widzimy dokładnie połowę Księżyca, kąt między nim a Słońcem jest o 1/30 kąta prostego mniejszy od kąta prostego, tzn. mniejszy od 90° o 3°, a zatem wynosi 87°. (Na rysunku poglądowym nie zachowano proporcji).

Mamy zatem trójkąt prostokątny, w którym poszukiwany stosunek odległości Słońca od Ziemi do odległości Księżyca od Ziemi uzyskujemy z zależności:

$$\frac{d}{L}=\mathrm{sin\; 3°}$$

czyli:

$$\frac{L}{d}=\frac{1}{\mathrm{sin\; 3°}}$$

Obecnie wyznaczenie wartości wyrażenia po prawej stronie równania nie sprawia żadnego kłopotu. Do wyliczenia wartości $\mathrm{sin\; 3°}$ wystarczy użyć taniego kalkulatora lub choćby posłużyć się wyszukiwarką Google, wpisując: sin(3 deg). Pół wieku temu skorzystalibyśmy z tablic trygonometrycznych, zawierających wyliczone wartości funkcji sinus dla poszczególnych kątów. Arystarch nie mógł skorzystać ani z pierwszej, ani z drugiej możliwości. W jego czasach nie znano nawet pojęcia funkcji sinus, jako stałego dla danego kąta stosunku odpowiednich dwu boków trójkąta prostokątnego; do Europy trafiło ono dopiero za pośrednictwem uczonych muzułmańskich, którzy przejęli je z Indii. Mógł jednak wykorzystać swoją pomysłowość oraz spostrzeżenia poprzedników dotyczące zależności geometrycznych związanych z kątami.

Rozwiązanie

Niech $A$ będzie środkiem Słońca, $B$ środkiem Ziemi, zaś $C$ środkiem Księżyca. Z założeń problemu wynika, że w badanej sytuacji $\mathit{\angle ACB}$ jest kątem prostym.

Konstruujemy odcinek $\mathit{BE}$ prostopadły do $\mathit{AB}$ i mający tę samą długość. Rysujemy ćwiartkę okręgu o środku $\mathit{B}$ i promieniu $\mathit{AB}$, od punktu $\mathit{B}$ do $\mathit{E}$.

Uzupełniamy punkty $\mathit{A}$, $\mathit{B}$, $\mathit{E}$ takim punktem $\mathit{F}$, który utworzy wraz z nimi wierzchołki kwadratu.

Przedłużamy odcinek $\mathit{BC}$. Przedłużona linia przecina łuk $\stackrel{⌢}{\mathit{AE}}$ w punkcie $\mathit{D}$, a następnie odcinek $\mathit{FE}$ w punkcie $\mathit{H}$.

Ponieważ $\mathit{\angle ABC}$ stanowi w trójkącie $\mathit{ACB}$ dopełnienie $\mathit{\angle ACB}$ do kąta prostego, a równocześnie $\mathit{\angle ABE}$ jest kątem prostym, to $\mathit{\angle CBE}=\mathit{\angle ACB}$. Stąd także łuk $\stackrel{⌢}{\mathit{ED}}$ stanowi jedną trzydziestą łuku $\stackrel{⏜}{\mathit{EDA}}$.

Zadanie sprowadza się do oszacowania wielkości ilorazu:

$$\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{\mathit{BH}}{\mathit{HE}}$$

Pierwszą część stanowi oszacowanie tej wielkości z dołu. Ile co najmniej wynosi stosunek długości tych odcinków dla przyjętego kąta?

Rysujemy odcinek $\mathit{BF}$. Wówczas $\mathit{\angle FBE}$ jest połową kąta prostego. Linią $\mathit{BG}$ dokonujemy podziału $\mathit{\angle FBE}$ na dwa równe kąty (bisekcja kąta). Zatem $\mathit{\angle GBE}$ jest jedną czwartą kąta prostego. Ale $\mathit{\angle DBE}$ stanowi jedną trzydziestą kąta prostego, więc proporcja pomiędzy tymi kątami wynosi:

$$\frac{\mathit{\angle GBE}}{\mathit{\angle DBE}}=\frac{\frac{\mathrm{90}}{4}}{\frac{\mathrm{90}}{\mathrm{30}}}=\frac{\mathrm{30}}{4}=\frac{\mathrm{15}}{2}$$

(Arystarch nie używał przyjętej w późniejszych czasach jednostki miary kątów, w której kąt pełny liczy 360 stopni, zatem kąt prosty ma 90 stopni. W swoim rozwiązaniu rozważa możliwy podział kąta prostego na 60 równych części. Wówczas $\mathit{\angle GBE}$ zawierałby 15 takich części, zaś $\mathit{\angle DBE}$ miałby ich 2).

Arystarch odnotowuje następnie, że stosunek długości odcinka $\mathit{GE}$ do długości odcinka $\mathit{HE}$ jest większy od stosunku odpowiednich kątów: $\mathit{\angle GBE}$ do $\mathit{\angle DBE}$ (jest to część twierdzenia znanego jako nierówność Arystarcha [opis po ang.]). Warto zauważyć, że w drugiej części rozwiązania autor, niekonsekwentnie, zamiast mówić o stosunku kątów, posługuje się stosunkiem odpowiadających im łuków okręgu, a zatem proporcją długości łuków, zamiast proporcją miar kątów.

$$\frac{\mathit{GE}}{\mathit{HE}}>\frac{\mathrm{15}}{2}$$

Następnie, ponieważ $\mathit{BE}$ jest równe $\mathit{EF}$, a kąt przy wierzchołku $\mathit{E}$ jest kątem prostym, więc kwadrat zbudowany na $\mathit{FB}$ ma dwa razy większe pole od kwadratu zbudowanego na $\mathit{BE}$ (na podstawie twierdzenia Pitagorasa).

$$\frac{\mathit{FB}\times \mathit{FB}}{\mathit{BE}\times \mathit{BE}}=2$$

Kolejnym krokiem byłoby:

$$\frac{\mathit{FB}}{\mathit{BE}}=\sqrt{2}$$

Ponieważ Arystarch nie dysponował kalkulatorem, do oszacowania wartości $\sqrt{2}$ skorzystał z dobrze znanego przybliżenia, wymyślonego przez pitagorejczyków:

$$2\times (5\times 5)=\mathrm{50}>\mathrm{49}=7\times 7$$

Skąd otrzymujemy:

$$\sqrt{2}>\frac{7}{5}$$

A zatem:

$$\frac{\mathit{FB}}{\mathit{BE}}>\frac{7}{5}$$

Zauważył ponadto, że:

$$\frac{\mathit{FB}}{\mathit{BE}}=\frac{\mathit{FG}}{\mathit{GE}}$$

(Ponieważ $\mathit{BG}$ jest dwusieczną kąta przy wierzchołku $\mathit{B}$ trójkąta $\mathit{FBE}$; wykorzystana równość stanowi treść twierdzenia o dwusiecznej kąta wewnętrznego w trójkącie).

W takim razie:

$$\frac{\mathit{FG}}{\mathit{GE}}>\frac{7}{5}$$

A skoro przy tym: $\mathit{FG}+\mathit{GE}=\mathit{FE}$, więc:

$$\frac{\mathit{FE}}{\mathit{GE}}>\frac{\mathrm{12}}{5}$$

Powyżej, z porównania wielkości kątów, otrzymaliśmy:

$$\frac{\mathit{GE}}{\mathit{HE}}>\frac{\mathrm{15}}{2}$$

Uwzględniając obie zależności, uzyskujemy:

$$\frac{\mathit{FE}}{\mathit{HE}}=\frac{\frac{\mathit{FE}}{\mathit{GE}}}{\frac{\mathit{GE}}{\mathit{HE}}}>\frac{\frac{\mathrm{12}}{5}}{\frac{\mathrm{15}}{2}}=\mathrm{18}$$ $$\frac{\mathit{FE}}{\mathit{HE}}>\mathrm{18}$$

Ponieważ $\mathit{FE}=\mathit{BE}$, więc także:

$$\frac{\mathit{BE}}{\mathit{HE}}>\mathrm{18}$$

A ponieważ $\mathit{BH}>\mathit{BE}$, więc $\mathit{BH}$ tym bardziej jest ponad 18 razy większe od $\mathit{HE}$:

$$\frac{\mathit{BH}}{\mathit{HE}}>\frac{\mathit{BE}}{\mathit{HE}}>\mathrm{18}$$

Skoro, jak zauważyliśmy na początku:

$$\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}=\frac{\mathit{BH}}{\mathit{HE}}$$

to:

$$\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}>\mathrm{18}$$

Co oznacza, że odległość Słońca ($\mathit{A}$) od Ziemi ($\mathit{B}$) jest ponad 18 razy większa od odległości Księżyca ($\mathit{C}$) od Ziemi.

W następnej kolejności przystępujemy do oszacowania tej samej wielkości z góry. Ile co najwyżej wynosi szukany stosunek długości odcinków?

Rysujemy równoległą do odcinka $\mathit{EB}$ przechodzącą przez punkt $\mathit{D}$. Punkt przecięcia z odcinkiem $\mathit{AB}$ oznaczamy przez $\mathit{K}$.

Na trójkącie $\mathit{DKB}$ opisujemy okrąg. Ponieważ kąt przy wierzchołku $\mathit{K}$ jest kątem prostym, więc $\mathit{\angle DKB}$ opiera się na średnicy tego okręgu, czyli odcinek $\mathit{DB}$ jest średnicą (tzw. twierdzenie Talesa o okręgu, szczególny przypadek twierdzenia o kątach wpisanym i środkowym).

Konstruujemy odcinek $\mathit{BL}$, będący bokiem sześciokąta foremnego wpisanego w ostatnio zbudowany okrąg.

Ponieważ $\mathit{\angle DBE}$ to 1/30 kąta prostego, więc równy mu $\mathit{\angle BDK}$ to również 1/30 kąta prostego, czyli 1/120 kąta pełnego. Miara kąta wpisanego (jakim jest $\mathit{\angle BDK}$) jest dwa razy mniejsza od miary kąta środkowego opartego na tym samym łuku (twierdzenie o kącie środkowym i kącie wpisanym opartych na tym samym łuku). Równocześnie miara kąta środkowego jest taką częścią kąta pełnego, jaką częścią okręgu jest łuk, na którym ten kąt jest oparty. A zatem łuk $\stackrel{⌢}{\mathit{BK}}$ to 1/60 część pełnego okręgu.

Z kolei łuk $\stackrel{⌢}{\mathit{BL}}$ stanowi 1/6 część pełnego okręgu. A zatem łuk $\stackrel{⌢}{\mathit{BL}}$ jest dokładnie 10 razy dłuższy niż łuk $\stackrel{⌢}{\mathit{BK}}$.

Stosunek łuku $\stackrel{⌢}{\mathit{BL}}$ do łuku $\stackrel{⌢}{\mathit{BK}}$ jest większy niż stosunek odcinka $\mathit{BL}$ do odcinka $\mathit{BK}$ (spostrzeżenie pokrewne z drugą częścią twierdzenia Arystarcha). Wynika stąd, że:

$$\frac{\mathit{BL}}{\mathit{BK}}<\mathrm{10}$$

A ponieważ $\mathit{BD}=2\times \mathit{BL}$, więc

$$\frac{\mathit{BD}}{\mathit{BK}}<\mathrm{20}$$

Trójkąty $\mathit{ACB}$ oraz $\mathit{DKB}$ są podobne (mają takie same kąty), więc:

$$\frac{\mathit{BD}}{\mathit{BK}}=\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}$$

Skąd wynika, że

$$\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}<\mathrm{20}$$

Co oznacza, że odległość Słońca ($\mathit{A}$) od Ziemi ($\mathit{B}$) jest mniej niż 20 razy większa od odległości Księżyca ($\mathit{C}$) od Ziemi.

Podsumowując:

$$\mathrm{18}<\frac{\mathit{AB}}{\mathit{BC}}<\mathrm{20}$$

Słońce znajduje się więcej niż 18 a mniej niż 20 razy dalej od Ziemi niż Księżyc.

Współcześnie obliczona wartość $\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{sin\; 3°}$}\right.$ wynosi:

$$\frac{1}{\mathrm{sin\; 3°}}=\mathrm{19.10732...}$$

Streszczenie rozwiązania

$$\frac{\mathrm{GE}}{\mathrm{HE}}>\frac{\frac{\mathrm{90}}{4}}{\frac{\mathrm{90}}{\mathrm{30}}}=\frac{\mathrm{15}}{2}$$ $$\frac{\mathrm{FG}}{\mathrm{GE}}=\frac{\mathrm{FB}}{\mathrm{BE}}=\sqrt{2}>\frac{7}{5}$$ $$\frac{\mathrm{FE}}{\mathrm{GE}}=\frac{\mathrm{FG}+\mathrm{GE}}{\mathrm{GE}}>\frac{\mathrm{12}}{5}$$ $$\frac{\mathrm{FE}}{\mathrm{HE}}=\frac{\frac{\mathrm{FE}}{\mathrm{GE}}}{\frac{\mathrm{GE}}{\mathrm{HE}}}>\frac{\frac{\mathrm{15}}{2}}{\frac{\mathrm{12}}{5}}=\mathrm{18}$$ $$\frac{\mathrm{BH}}{\mathrm{HE}}=\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}>\frac{\mathrm{BE}}{\mathrm{HE}}=\frac{\mathrm{FE}}{\mathrm{HE}}$$ $$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}>\mathrm{18}$$ $$\frac{\mathrm{BL}}{\mathrm{BK}}<\frac{\stackrel{⌢}{\mathrm{BL}}}{\stackrel{⌢}{\mathrm{BK}}}=\frac{\frac{1}{6}}{\frac{1}{\mathrm{60}}}=\mathrm{10}$$ $$\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BK}}=\frac{2\times \mathrm{BL}}{\mathrm{BK}}<\mathrm{20}$$ $$\frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{BC}}=\frac{\mathrm{BD}}{\mathrm{BK}}<\mathrm{20}$$

Uproszczenia i niedokładności modelu

1. Arystarch stwierdził, że kiedy widzimy dokładnie połowę Księżyca, wówczas linia prosta poprowadzona pomiędzy obserwatorem a środkiem Księżyca znajduje się pod kątem prostym do linii łączącej środki Księżyca i Słońca, zaś obserwowany kąt między Księżycem a Słońcem wynosi 87°. A zatem znalezione rozwiązanie konstrukcyjne dotyczy odległości środków Księżyca oraz Słońca od punktu znajdującego się na powierzchni Ziemi, nie zaś od środka kuli ziemskiej.

   Ta niespójność byłaby tylko brakiem elegancji w rozwiązaniu, gdyby nie fakt, że w kolejnych rozważaniach Arystarch traktuje uzyskany wynik tak, jakby wszystkie odległości były mierzone pomiędzy środkami ciał niebieskich.

   W dalszej części dzieła Arystarch oblicza dystanse do Słońca i Księżyca mierzone w promieniach Ziemi (${\mathit{R}}_{\mathrm{\oplus }}$). Okazuje się, że względu na znaczne odległości obu ciał niebieskich w porównaniu z rozmiarem Ziemi (wg niego: ok. 380 ${\mathit{R}}_{\mathrm{\oplus }}$ oraz 20 ${\mathit{R}}_{\mathrm{\oplus }}$), różnica uwzględniająca przesunięcie punktu reprezentującego Ziemię z powierzchni Ziemi do jej centrum ma niewielkie znaczenie.

2. Ponieważ Słońce i Księżyc są różnych rozmiarów (ponieważ mają tę samą średnicę kątową na niebie, a Księżyc znajduje się bliżej Ziemi, co Arystarch wykazał w stwierdzeniu 6 swojego dzieła), więc oświetlona przez Słońce część Księżyca nie jest dokładnie połową jego globu. W rozważaniach wstępnych Arystarch udowodnił, że jeśli sfera jest oświetlana przez sferę większą od niej, to oświetlona część mniejszej sfery jest większa od półsfery (stwierdzenia 1 i 2). Z drugiej strony, jak wykazał, Księżyc znajduje się tak daleko od Ziemi w stosunku do swoich rozmiarów, że koło dzielące jego jasną i ciemną część różni się geometrycznie od jego koła wielkiego, ale w sposób dla nas niedostrzegalny, różnica wynosi mniej niż 1/3960 kąta prostego (stwierdzenia 3 i 4).

3. Arystarch nie podaje, skąd uzyskał wielkość kąta równą akurat 87°. Kąt pomiędzy Słońcem i Księżycem w pierwszej lub trzeciej kwadrze jest bliski kątowi prostemu i bardzo trudny do zmierzenia. Dlatego oszacowanie Arystarcha, że Słońce znajduje się ok. 20 razy dalej od Ziemi niż Księżyc, przyjmowano w astronomii przez prawie 2000 lat. Wskutek tego Układ Słoneczny, a zatem i cały świat, miał w ówczesnych modelach znacznie mniejsze rozmiary niż w rzeczywistości. Faktycznie kluczowy kąt jest znacznie bliższy kątowi prostemu i wynosi 89,85°; Słońce znajduje się około 390 razy dalej od Ziemi niż Księżyc.

   Według niektórych współczesnych domysłów przyjęta przez Arystarcha różnica trzech stopni kątowych brakujących do kąta prostego nie pochodziła z wyników pomiarów, ale była wnioskiem z ograniczeń naszego postrzegania. Mianowicie rozdzielczość nieuzbrojonego oka ludzkiego wynosi około jednej minuty kątowej (1'). Widoczna z Ziemi tarcza Księżyca ma wielkość pół stopnia, czyli 30 minut kątowych, a więc jedna minuta kątowa to 1/30 tej tarczy. Nie da się z lepszą dokładnością stwierdzić, czy widoczna jest dokładnie połowa Księżyca. Z drugiej strony, Księżyc to faktycznie bryła trójwymiarowa, kula, której połowa (czyli 180°) jest zwrócona w stronę Ziemi, a w danym momencie widzimy tylko jej ćwiartkę (90°) oświetlaną przez Słońce. W takim razie również kąt pomiędzy połówką Księżyca a jakimś innym obiektem na niebie możemy oznaczyć z dokładnością nie większą niż 1/30 z 90°, czyli 3°.

   Jeżeli powyższe uzasadnienie odpowiada prawdzie, to Arystarch przyjął 90° − 3° = 87° jako wartość graniczną kąta, czyli uznał, że faktyczny kąt jest nieco mniejszy od kąta prostego i wynosi nie mniej niż 87°. Oznaczałoby to, że szacował dolne ograniczenie dla stosunku badanych odległości, a zatem że Słońce znajduje się co najmniej 18–20 razy dalej niż Księżyc. Jednak w samym tekście „O rozmiarach i odległościach Słońca i Księżyca” takie stwierdzenie ani sugestia się nie pojawia.