Planety krążące wokół Słońca zwykle wymienia się w konkretnej, stałej kolejności: Merkury, Wenus, Ziemia, Mars, Jowisz, Saturn… To rosnąca kolejność ich odległości od Słońca: Merkury znajduje się najbliżej Słońca, średnio ok. 60 mln km, Wenus dalej: 100 mln km, Ziemia jeszcze dalej: 150 mln km, Mars: 230 mln km i tak dalej.
Jeśli zatem odejmiemy dwie z tych liczb, np. odległość Ziemi od Słońca i odległość Wenus od Słońca, to otrzymamy….? Otrzymamy odległość pomiędzy ich orbitami, pomiędzy „kółkami”, po których krążą wokół Słońca. A nie odległość między tymi planetami.
Na ilustracjach poglądowych często pokazuje się planety uszeregowane w jednej linii po jednej stronie Słońca, co sugeruje, że taka sytuacja jest w pewien sposób typowa, a co najmniej częsta. Tymczasem w rzeczywistości niesłychanie rzadko zdarza się, żeby choćby parę planet — nie mówiąc o wszystkich — ułożyło się w danym momencie w jednej linii.
 |
Każda planeta obiega Słońce w swoim własnym tempie, zależnym od odległości: bliższe potrzebują na pełne okrążenie mniej czasu, dalsze więcej. Merkuremu zajmuje to 88 dni, Wenus robi pełne okrążenie w 225 dni, Ziemia w 365 dni, Mars w około 690 dni.
To oznacza, że jeśli wyobrazimy sobie, że w pewnym momencie te cztery planety znajdowały się w jednej linii po tej samej stronie Słońca, wówczas po 88 dniach Merkury znajdzie się ponownie na „linii startowej”, ale Wenus przemierzy tylko niecałą połowę swojej trasy i znajdzie się po przeciwnej stronie Słońca. Ziemia w tym czasie zdoła wykonać tylko około ćwierć okrążenia wokół Słońca, więc linia łącząca ją ze Słońcem przebiegać będzie mniej więcej pod kątem prostym do „linii startowej”. Mars do tej pory wykona tylko jedną ósmą okrążenia. Odległość każdej planety od Słońca się nie zmieniła, bo krążą po kółkach (dla uproszczenia pomijamy spłaszczenie orbity Merkurego), ale odległości pomiędzy poszczególnymi parami planet są zupełnie inne i nie da się ich uzyskać przez proste odejmowanie ich dystansów od Słońca.
 |
A one krążą dalej i układ wciąż się zmienia. Po 365 dniach od startu Ziemia wreszcie wykonała pełne okrążenie i znajduje się na linii startowej, ale w tym czasie Merkury wykonał cztery pełne okrążenia, minął linię startu i jest w jednej ósmej piątego okrążenia. Wenus zrobiła ponad półtora okrążenia i jest po przeciwnej stronie Słońca niż Ziemia, a Mars tylko pół okrążenia, więc również jest po przeciwnej stronie Słońca niż Ziemia. Mnóstwo, mnóstwo czasu musiałoby jeszcze upłynąć, żeby ponownie wszystkie cztery znalazły się w jednej linii po tej samej stronie Słońca
 |
Kiedy Wenus znajduje się dokładnie po przeciwnej stronie Słońca niż Ziemia, jest od niej oddalona o 150+100 = 250 mln km. To maksymalna odległość między Wenus a Ziemią. Minimalna odległość Wenus od Ziemi występuje, kiedy są po tej samej stronie Słońca, i wynosi: 150-100 = 50 mln km. Tak samo dzieje się w przypadku Merkurego i Marsa. Odpowiednie wyniki wynoszą:
- Merkury: od 90 do 210 mln km od Ziemi
Wenus: od 50 do 250 mln km od Ziemi
Mars: od 80 do 380 mln km od Ziemi
Co wynika z tych zakresów liczb? Okazuje się, że odpowiedź na pytanie: „Która planeta jest najbliżej Ziemi?” brzmi: „To zależy”.
Przede wszystkim to pytanie można rozumieć na dwa sposoby:
- Która planeta jest najbliżej Ziemi w tym momencie?
W konkretnym momencie może się nią okazać dowolna z trzech powyższych, a odpowiedź znajdziemy dzięki specjalistycznemu oprogramowaniu lub korzystając z tablic astronomicznych, wykonując sporo obliczeń trygonometrycznych, żeby odpowiednio przekształcić współrzędne sferyczne, stosowane w tych tablicach, i tak dalej. Niestety, będzie to odpowiedź praktycznie jednorazowego użytku. Planety cały czas się poruszają i zmieniają wzajemne położenia. Po pewnym czasie odpowiedź z pewnością będzie nieaktualna, dotychczasowa „najbliższa” zostanie zdetronizowana, a bez dodatkowych obliczeń trudno z góry powiedzieć, kiedy i przez którą z pozostałych.
- Która planeta jest „zwykle” najbliżej Ziemi, tzn. statystycznie najczęściej, jeśli rozpatrujemy bardzo, bardzo długi czas?
Takie zagadnienie jest znacznie ciekawsze, a znaleziona odpowiedź pozostanie poprawna również za rok, za lat dziesięć, za sto i za tysiąc. Dla ułatwienia pozostajemy przy przyjętych już uproszczeniach: planety poruszają się w jednej płaszczyźnie, ruchem jednostajnym po kołowych orbitach, których centrum jest Słońce, przy czym zaokrąglamy promienie i okresy obiegu. (Najbardziej od tego założenia odbiega faktyczna orbita Merkurego, lepsze dostosowanie modelu do realiów wraz z przeprowadzeniem odpowiednio zmienionych obliczeń „pozostawiamy jako ćwiczenie dla czytelnika”).
Dobrze byłoby znaleźć jak najprostszą metodę rozwiązania.
Jak się wydaje, najlepiej będzie dla każdej z planet wyliczyć jej średnią odległość od Ziemi, a następnie je porównać: planeta o najmniejszej średniej powinna być przez większość czasu planetą najbliższą Ziemi. Do uzyskania takiej średniej odległości, jak można by pomyśleć, wystarczy wziąć odległość maksymalną oraz minimalną, dodać je do siebie i wynik podzielić przez dwa, prawda?… Prawda?…
Dla jaśniejszego obrazu linię Słońce-Ziemia potraktujmy jak oś układu współrzędnych, wtedy punktu widzenia związanego z tym układem zarówno Słońce, jak i Ziemia są nieruchome. Wówczas pozostaje tylko kołowy ruch pozostałych planet wokół Słońca (chociaż z innymi okresami obiegu, zwanymi okresami synodycznymi). Kiedy więc rozpatrujemy pojedynczą planetę, model wygląda prosto: planeta to punkt krążący po okręgu, a Ziemia to inny punkt, nieruchomy, poza tym okręgiem.
Teraz całkiem łatwo zauważyć, że kiedy np. Merkury dokonuje pełnego okrążenia, to najbliżej Ziemi znajduje się tylko raz, najdalej również tylko raz, za to dwa razy w położeniach prostopadłych do linii łączącej te dwie jego pozycje na okręgu. W obu tych położeniach jest w tej samej odległości od Ziemi; wyliczymy ją z twierdzenia Pitagorasa: d² = 60² + 150², skąd d≈162. Ale średnia z 60 i 150 wynosi tylko 105… Gdyby teraz wyciągnąć średnią z tych czterech obliczonych odległości Merkurego od Ziemi, dla czterech położeń dzielących jego orbitę na równe części, to otrzymamy: (60 + 2×162 + 150)/4 = 134. Średnia dla czterech punktów (134) okazała się zupełnie inna od średniej dla dwóch (105), a nadal nie mamy pewności, czy jest choćby bliska faktycznej średniej odległości od Ziemi wyliczonej ze wszystkich wielu, również pośrednich, położeń Merkurego na okręgu.
Przynajmniej mamy już ogólny pomysł. Na okręgu reprezentującym orbitę Merkurego rozmieśćmy w równych odstępach dużo punktów, np. 360; dla każdego policzymy odległość od Ziemi, zsumujemy te wszystkie odległości, a sumę podzielimy przez liczbę punktów, czyli 360. Wynik, średnia odległość tych punktów okręgu od zewnętrznego punktu-Ziemi, z pewnością będzie wtedy dokładniejszy. (Gdyby ktoś chciał policzyć dokładną wartość średniej odległości ze wszystkich punktów okręgu, używając całkowania, to odpowiednia całka jest całką eliptyczną drugiego rodzaju bez rozwinięcia do funkcji elementarnych).
Wyniki są następujące:
-
Merkury: średnio 156,1 mln km od Ziemi
Wenus: średnio 167,2 mln km od Ziemi
Mars: średnio 255,2 mln km od Ziemi
Najbliższą Ziemi planetą najczęściej jest… 𝗠𝗲𝗿𝗸𝘂𝗿𝘆.
Możemy upewnić się co do wyniku, wykonując odpowiednią symulację. Najmniejszą wspólną wielokrotnością czasów obiegu: 88, 225, 365 i 690 dni jest okres 33 244 200 dni. Po takim czasie wszystkie cztery planety (łącznie z Ziemią) po raz pierwszy powrócą wszystkie jednocześnie do pozycji wyjściowych. Wystarczy dla każdego z kolejnych ponad 33 milionów dni (czyli 91 tysięcy lat) policzyć w modelu pozycje wszystkich czterech obiektów, następnie odległość każdej z trzech planet od Ziemi, wybrać planetę z najmniejszą odległością i zliczyć dla niej kolejny dzień, kiedy była najbliższą. (Trochę ponad 10-krotnie krótszy jest cykl dla okresów obiegów synodycznych, czyli względem Ziemi i Słońca, kończący się powtórnym ułożeniem planet w jednej linii, choć w nie tej samej co startowa; ale pozostańmy przy prostszej koncepcji).
Najbliższą Ziemi planetą były:
-
Merkury: przez 15 218 970 dni (45,8% czasu)
Wenus: przez 12 551 970 dni (37,8% czasu)
Mars: przez 5 473 260 dni (16,5% czasu)
